Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lógicas usuales.
Me limitaré a la más importante: la implicación lógica.
Los teoremas matemáticos tienen casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hipótesis y de ella se deduce una tesis. Entremos en detalles.
La hipótesis es siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo, “f es una función continua en un intervalo”. La tesis también es una propiedad matemática; por ejemplo, “la imagen de f es un intervalo”. Representemos por H la hipótesis y por T la tesis.
Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hipótesis H. No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos particularizar la función f.
Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas,
las derivadas e integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo
de todo eso. En principio, parecen cosas bastante diferentes pero todas ellas
tienen una base común, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar.
Me estoy refiriendo a los números reales que representamos por IR. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes que se
pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos.
También puedes extraer raíces de números reales positivos y elevar un número
real positivo a otro número real. Lo que quizás no sepas es que todo lo que
puedes hacer con los números reales es consecuencia de unas pocas propiedades
que dichos números tienen que, además, son muy elementales.
Estableceremos dichas propiedades. Serán nuestro punto de partida para todo lo que
sigue; constituyen los “axiomas” del Cálculo. Te advierto que no voy a
decírtelo todo, voy a guardarme una carta en la manga que te mostraré más
adelante cuando su necesidad.
Otra de las aplicaciones de la segunda
derivada es para clasificar los puntos críticos donde la primera derivada se
anula. La idea es muy gráfica: si ces un punto donde f
(c)=0 y fes cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que
contiene a c entonces f (c) es un máximo relativo, pero en
cambio si es cóncava hacia arriba entonces se alcanza un mínimo relativo en c.
Teorema:
Sea f
una función tal que f´(c)= 0 y cuya segunda derivada
existe en un intervalo abierto que contiene a c
Si f”(c) > 0 entonces f(c)
es un mínimo relativo.
Si f”(c) < 0, entonces f(c)
es un máximo relativo.
Las
condiciones que presenta el aguacate como monocultivo en la región productora
michoacana deriva en problemas que limitan la producción y comercialización,
tales como: Mal manejo de podas, riegos deficientes, aspersiones inadecuadas en
las plantaciones, daños de plagas y enfermedades en pre y poscosecha, poca
organización entre los productores para la comercialización, introducción al
mercado de fruta chica, así como cortada antes de su madurez fisiológica.
Las
enfermedades del aguacate afectan la producción en 40 por ciento y ocupan un
renglón importante por el número, intensidad y como factor que incrementa
costos de producción, ya que se requieren de seis a siete aplicaciones de pesticidas
para su control acompañado por prácticas culturales y de manejo.
Esta
situación los ha llevado a un grupo de Productores de Aguacate de Uruapan
Michoacán inician un proyecto de cultivos orgánicos de aguacates con el fin de
obtener mejor producto, aumentar su producción y resolver los problemas cultivo
y cosecha con un sistema 100% amigable con el medio ambiente, por lo que se
presenta un problema relacionado con la cantidad de matas a plantar y la
producción esperada, por lo que se plantea el siguiente:
Problemas:
Como primer
prueba de este cultivo estiman plantar 200 matas, la producción que estiman es de
300 Kg. por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción
aumentará en 3 Kg. por árbol.
Recurren al centro
de ciencias ambientales para que les proporcionen un modelo matemático que les
permita estimar el máximo rendimiento con el mínimo de árboles plantados.
SOLUCIÓN
Variables que
intervienen en el problema
Sea:
x =
Número de árboles que no se plantan
(Apl) = Número de árboles a
plantar, definido por la expresión
Apl = 200 –
x expresión 1
Pe = la producción estimada
Pe = 300 + 3 x
…………………………..expresión 2
Modelo Matemático
De acuerdo a la expresión 1 y 2, la
producción total en función de los árboles a plantar y la producción estaría
dado por
P(x) = (Apl) * (Pe)………… Expresión 3
Sustituyendo la expresión 1 y 2 en la expresión 3
Modelo Matemático
P(x)
= 6000 +300x-3X2……..Expresión
3
Solución al problema
Dado que la función esta definida para
todos los números reales, en particular
para el caso de la cantidad de árboles que se espera plantar se encuentran en
el intervalo [0,200]
1.- Calculando los números críticos de
P(x)mediante el criterio de la primera derivada
P’(x)
= 0 cuando 300 – 6x = 0 entonces el
punto crítico es x = 50
Dado que la función es continua y esta
definida en IR, por lo tanto esta definida en el intervalo [0,200]
encontraremos los valores máximos
P(0)
= 6000 +300(0)-3(0)2 = 6000
P(50)
= 6000 +300(50)-3(50)2= 67500
P(200)
= 6000 +300(200)-3(200)2= 0
El máximo rendimiento sería de 67,500 kg
de aguacates orgánicos y se alcanzaría cuando se dejan de plantar 50 árboles
esto es de la expresión 1
Apl = 200 –
50 = 150 árboles
Una vez que determinaron el número de
matas a plantar para obtener la máxima producción surge un nuevo problema que
consiste en:
PROBLEMA 2
La decisión
final de los productores depende del análisis costo beneficio de este tipo de
producción por lo que para determinar es necesario obtener el costo
total de producir q de un kg de aguacates, , por lo que se les planteó el siguiente modelo
matemático
En términos de la gráfica de la función y = f(x), para cada variación
de magnitud h de la variable independiente con respecto al valor inicial x0,
el cociente diferencial
Df
(x0)(h) =
f(x0 + h) − f(x0)
Dx
h
Lo
que significa que
f’(a)=
lim
Dy
=
lim
f(x0 + h) − f(x0)
EXPRESION 1
h->0
h
h->0
h
Esta es la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función
por los puntos (x0, f(x0)) y (x0 +h, f(x0
+h)) como se observa en la siguiente figura:
En
esta se observa que la recta secante S1, S2,…. Tienden a T, la recta tangente a
la grafica en el punto (X0, f(xo)), cuando h→0
Así, la derivada en el punto x0 es el
límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el segundo punto (x0
+ h, f(x0 + h)) sobre la grafica se toma cada vez más cercano
al punto inicial (x0, f(x0)).
En los términos geométricos, la derivada de y
= f(x) en el punto x0 coincide con la pendiente de la recta tangente
a la grafica de la función en el punto (x0, f(x0)). Por
lo contrario, el que la función y = f(x) no posea derivada en el punto x0
significa que la curva que define
la gráfica de la función no tiene recta tangente en el punto (x0,
f(x0)), por ejemplo el caso de la gráfica de la función f(x) = |x|
en el punto (0, 0).
Las funciones por partes son funciones que están divididas en dos o más expresiones, cada uno de los cuales obedece a un comportamiento diferente.
Las funciones indican el intervalo en que se encuentra definido en cada sección. Estos intervalos son los valores que toma la variable independiente x, por eso se consideran sobre el eje x. Los intervalos pueden ser expresados mediante desigualdades.
En términos matemáticos, una función por secciones es aquella función en que el dominio se divide en subconjuntos, y para cada uno de estos subconjuntos se define una función distinta, al definir una función por secciones los intervalos de definición tienen que estar bien establecidos, esto es, una condición para que f sea una función es que a cada valor de x le corresponda uno y sólo un valor de y. Si a x le corresponde más de un valor de y, o si no le corresponde ninguno, no se establece la función.
Después de la Construcción del Cálculo la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento, descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su nacimiento.
