Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lógicas usuales.
Me limitaré a la más importante: la implicación lógica.
Los teoremas matemáticos tienen casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hipótesis y de ella se deduce una tesis. Entremos en detalles.
La hipótesis es siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo, “f es una función continua en un intervalo”. La tesis también es una propiedad matemática; por ejemplo, “la imagen de f es un intervalo”. Representemos por H la hipótesis y por T la tesis.
Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hipótesis H. No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos particularizar la función f.
Un error muy frecuente consiste en pensar que en Matemáticas las hipótesis son verdaderas.
Ahora te preguntarás, si H no es verdadera ni falsa, ¿qué quiere decir que H implica T o, equivalentemente, que T se deduce o es consecuencia de H? La respuesta es: “implica T” quiere decir que siempre que H sea verdadera también T es verdadera. Observa que no estamos afirmando (no tiene sentido) que H o T sean verdaderas sino que cuando H es verdadera también lo es T. Con más precisión, demostrar que Himplica Tconsiste en probar que la proposición H => es cierta. Teniendo en cuenta que la proposición H =>Tes la disyunción lógica (no)_T, resulta que si Hes falsa entonces H =>Tes verdadera (por eso se dice que de una hipótesis falsa puede deducirse cualquier cosa) y si Hes verdadera entonces para que H =>T sea verdadera tiene que ocurrir que Tsea verdadera. En consecuencia, si sabemos que es verdadera y que H =>T es verdadera, deducimos que T es verdadera.
Ahora puedes entender el significado de la frase de C. P. Steinmetz.
La matemática es la ciencia más exacta, y sus conclusiones son susceptibles de demostración absoluta. Pero eso se debe exclusivamente a que la matemática no intenta obtener conclusiones absolutas. Todas las verdades matemáticas son relativas, condicionales.
También comprendes ya el significado de una parte de la enigmática frase de Bertrand Russell del principio: en matemáticas no sabemos si lo que decimos es verdad. Pero una parte de dicha frase queda por aclarar.
¿Recuerdas los axiomas de la geometría elemental? En dichos axiomas se establecen propiedades que se supone satisfacen ciertos objetos llamados “punto”,“recta” y “plano”. Pero no se dice nunca lo que es un punto ni una recta ni un plano. De la misma forma, en la sección
siguiente estableceremos los axiomas de los números reales, pero no diremos lo que es un número real. ¡En matemáticas nunca decimos cuál es la naturaleza concreta de los objetos con los que trabajamos! Sucede que la intuición nos lleva muchas veces a una interpretación natural de dichos objetos, pero otras veces dicha interpretación natural no está disponible. Y, lo más interesante, puede haber interpretaciones muy diferentes de una misma teoría matemática.
Precisamente, las matemáticas son una ciencia abstracta porque trabaja con cosas abstractas cuya naturaleza no se precisa ni es necesario saber, solamente interesan las relaciones que hay entre ellas tal y como se establecen en los axiomas. Ahora ya entiendes por qué afirma Bertrand Russell que “en matemáticas no sabemos de lo que hablamos”.
Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral