Antecedente
Las
condiciones que presenta el aguacate como monocultivo en la región productora
michoacana deriva en problemas que limitan la producción y comercialización,
tales como: Mal manejo de podas, riegos deficientes, aspersiones inadecuadas en
las plantaciones, daños de plagas y enfermedades en pre y poscosecha, poca
organización entre los productores para la comercialización, introducción al
mercado de fruta chica, así como cortada antes de su madurez fisiológica.
Las
enfermedades del aguacate afectan la producción en 40 por ciento y ocupan un
renglón importante por el número, intensidad y como factor que incrementa
costos de producción, ya que se requieren de seis a siete aplicaciones de pesticidas
para su control acompañado por prácticas culturales y de manejo.
Esta
situación los ha llevado a un grupo de Productores de Aguacate de Uruapan
Michoacán inician un proyecto de cultivos orgánicos de aguacates con el fin de
obtener mejor producto, aumentar su producción y resolver los problemas cultivo
y cosecha con un sistema 100% amigable con el medio ambiente, por lo que se
presenta un problema relacionado con la cantidad de matas a plantar y la
producción esperada, por lo que se plantea el siguiente:
Problemas:
Como primer
prueba de este cultivo estiman plantar 200 matas, la producción que estiman es de
300 Kg. por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción
aumentará en 3 Kg. por árbol.
Recurren al centro
de ciencias ambientales para que les proporcionen un modelo matemático que les
permita estimar el máximo rendimiento con el mínimo de árboles plantados.
SOLUCIÓN
|
Variables que
intervienen en el problema
Sea:
x =
Número de árboles que no se plantan
(Apl) = Número de árboles a
plantar, definido por la expresión
Apl = 200 –
x expresión 1
Pe = la producción estimada
Pe = 300 + 3 x
…………………………..expresión 2
Modelo Matemático
De acuerdo a la expresión 1 y 2, la
producción total en función de los árboles a plantar y la producción estaría
dado por
P(x) = (Apl) * (Pe)………… Expresión 3
Sustituyendo la expresión 1 y 2 en la expresión 3
Modelo Matemático
P(x)
= 6000 +300x-3X2……..Expresión
3
Solución al problema
Dado que la función esta definida para
todos los números reales, en particular
para el caso de la cantidad de árboles que se espera plantar se encuentran en
el intervalo [0,200]
1.- Calculando los números críticos de
P(x)mediante el criterio de la primera derivada
P’(x)
= d/dx ((200 – x) ▫ (300 + 3x))
P’(x)
= (200 – x) (d/dx (300 + 3x) ) + (300 + 3x) (d/dx(200 – x)))
P’(x)
= (200 – x) (d/dx (300) + 3 d/dx (x) ) + (300 + 3x) (d/dx(200) – d/dx (x)))
P’(x)
= 3 (200 – x) - 3x- 300
P’(x) = 300 - 6x
2.-
encontramos los puntos criticos de P’(x)
P’(x)
= 0 cuando 300 – 6x = 0 entonces el
punto crítico es x = 50
Dado que la función es continua y esta
definida en IR, por lo tanto esta definida en el intervalo [0,200]
encontraremos los valores máximos
P(0)
= 6000 +300(0)-3(0)2 = 6000
P(50)
= 6000 +300(50)-3(50)2= 67500
P(200)
= 6000 +300(200)-3(200)2= 0
El máximo rendimiento sería de 67,500 kg
de aguacates orgánicos y se alcanzaría cuando se dejan de plantar 50 árboles
esto es de la expresión 1
Apl = 200 –
50 = 150 árboles
Una vez que determinaron el número de
matas a plantar para obtener la máxima producción surge un nuevo problema que
consiste en:
PROBLEMA 2
La decisión
final de los productores depende del análisis costo beneficio de este tipo de
producción por lo que para determinar es necesario obtener el costo
total de producir q de un kg de aguacates, , por lo que se les planteó el siguiente modelo
matemático
ca(q) = 9000 + 4q + 1/20 q2---------------------------
expresión A
Con lo que requieren conoce:
- ¿Cuantos kilogramos deben producir
un árbol para obtener el mínimo costo promedio por kilogramo?
- ¿Cual es el mínimo costo promedio
por kilogramo producido?
SOLUCIÓN
|
1. Obtenemos el costo promedio, diviendo
la expresión A
ca(q)=
|
9000+4q+1/20 q2
|
=
|
9000
|
+4+ 1/20
(q)
|
|
q
|
q
|
Calculamos la primera derivada de ca
ca’(q)=
|
d/dx(
|
9000
|
+4+
1/20 (q))
|
q
|
ca’(q) = - 9000 q -2 +1/20
encontramos el punto critico del
promedio ca’(q) = 0
esto sucede cuando
-9000
q-2 +1/20 = 0
Despejando
q-2
1/q2
= 1/(20*9000)
Öq2=
Ö9000*20
q=
Ö9000*20
por lo tanto
q=
424.26 es el único valor critico ya que la raíz negativa no representa nada en
nuestra solución.
Usando el criterio de la segunda
derivada
Para
ca’(q)
= - 9000 q -2 +1/20
Tenemos
que
ca “ (q) =d/dx(- 9000 q -2 +1/20)
ca “ (q) =(18000 /q3)
al
evaluar tenemos que
ca “ (424.26) =(18000 /424.263)
> 0
Entonces
En q = 424.26 se alcanza un mínimo
relativo y como existe un único valor extremo relativo, podemos concluir
Cuando un árbol produce 424.26 kilogramos
de producto tendrá el costo promedio mínimo de:
ca(424.26) =
|
9000 + 4(424.26) + (424.26)
2/20
|
424.26
|
ca(424.26) =
|
9000 + 4(424.26) + (424.26)
2/20
|
424.26
|
ca(424.26) =
|
9000 + (1697.04) + (8999.82738)
|
424.26
|
Por
lo que el costo mínimo promedio es de $ 46.42
Conclusión:
Los
productores deberán plantar 150 árboles que producirán 6.75 toneladas de
aguacates orgánicos,