Criterio de la segunda derivada
Otra de las aplicaciones de la segunda
derivada es para clasificar los puntos críticos donde la primera derivada se
anula. La idea es muy gráfica: si c es un punto donde f
(c)=0 y f es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que
contiene a c entonces f (c) es un máximo relativo, pero en
cambio si es cóncava hacia arriba entonces se alcanza un mínimo relativo en c.
Teorema:
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Sea f
una función tal que f´(c)= 0 y cuya segunda derivada
existe en un intervalo abierto que contiene a c
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De lo anterior podemos observar que la
relación entre concavidad y segunda derivada nos permite visualizar el
siguiente criterio usado para clasificar puntos críticos.
Otras consideraciones:
1.- El
criterio no es concluyente en el caso en que f ‘(c) =0 y f”(c)=0 . Se deberá entonces usar el
criterio de la primera derivada.
2.- El
criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en c.
3.- Una
de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos críticos
con sólo evaluar la función segunda derivada en los números críticos, a
diferencia del criterio de la primera derivada que se debía evaluar la primera
derivada a la izquierda y derecha del punto crítico y entre los puntos críticos
vecinos.
Procedimiento
1) Primero
obtenemos la primera derivada a fin de conseguir los valores críticos de f
2) Clasificamos
los puntos críticos, para ello se intenta primero el criterio de la segunda
derivada.
Encuentra los extremos relativos de las siguientes funciones:
a) f(x)
= 8x4 + 2x3 - 5x2 + 5x-3
f’ (x) = d/dx(8x4
+ 2x3 - 5x2 + 5x-3=
f’ (x)= 32x3 + 6x2
- 10x + 5
Los puntos críticos de
f’(x) es cuando f’(x) = 0
32x3 + 6x2
- 10x + 5 = 0
32x3 + 6x2
- 10x = 5
x(32x2 + 6x –
10) = 5
x ~-0.810704
Calculamos la segunda derivada
de la función y evaluamos en ella el punto x = -0.810704
f “(x) = f ‘(x) =32x3 + 6x2 - 10x
+ 5
f “(x) = 96x3 +
12x - 10
f “(-0.810704) = 96(-0.810704)3 + 12(-0.810704) -
10
f “(-0.810704) = -70.88
lo que significa que por ser constante y negativa
f “(-0.810704) < 0
Entonces f “(-0.810704) es un máximo relativo
b) f(x) = Öx2 + 2
f’(x)= d/dx(Öx2 + 2)
f’(x)= d/dx(Öx2
+ 2) = x/(Öx2
+ 2)
Los puntos críticos de
f’(x) es cuando f’(x) = 0
x/(Öx2 + 2) = 0
x = 0
Calculamos la segunda derivada
de la función y evaluamos en ella el punto x = 0
f’(x)= d/dx (x/(Öx2 + 2))
f “ (0) = 2/ (x2
+ 2)3/2
f “ (0) = 2/ (02
+ 2)3/2
f “ (0) = 1.26
f “ (0) > 0
Entonces f “(0) es un mínimo relativo
c) f(x)
= x /(x4+3)
f’(x) = d/dx(x /(x4+3)) = 3(x4-1)/
(x4+3) 2
Los puntos críticos de
f’(x) es cuando f’(x) = 0
(x4 -1) = 0
Entonces x = 1 y x =-1 el dominio esta en el conjunto IR
Calculamos la segunda derivada
de la función y evaluamos en ella el punto x = 1 y x = -1
f”(x )= f’(x)=3(x4-1)/ (x4+3)
2
f”(x )= f’(x)=-(12 x3 (x4-5)/ (x4-5)
) /(x4+3) 2)
evaluando
f”(1)= -(12 13
(14-5)/ (14-5) ) /(14+3) 2)
d) f(x)
= ln
(x2/(1+x))
f’(x) = d/dx(ln (x2/(1+x)))
f’(x) = x+2 / x2 + x
f’(x) = x+2
cuando x+2 = 0 entonces x = -2
Los puntos críticos de
f’(x) es cuando f’(x) = -2
x+2 = 0
Entonces x = -2; el dominio esta en el conjunto IR
Calculamos la segunda derivada
de la función y evaluamos en ella el punto x = 1 y x = -1
f”(x )= f’(x)= (x+2) / (x2 + x)
f”(x )= f’(x)= (x2 + 4x+2)/ x2(x
+ 1) 2
evaluando
f”(-2)= (-22 + 4(-2)+2)/ -22(-2
+ 1) 2
f”(-2)= (4 -8 +2)/ 42( -1)
2
f”(-2)= (-2)/ 4
f”(-2)= -2
e) f(x)
= xeÖx^2 + 1
f’(x) = d/dx (xeÖx^2 + 1)
f’(x)=((xeÖx^2 + 1)
(x2+ Öx^2
+ 1))/ Öx^2
+ 1
f’(x) = 0
cuando ((xeÖx^2 + 1)
(x2+ Öx^2
+ 1)) = 0
entonces x = -2
no tiene puntos criticos
porque no tiene solución esta ecuación en los números reales
x+2 = 0
Entonces x = -2; el dominio esta en el conjunto IR
Por lo tanto el criterio de
la segunda derivada no es aplicable