Sustancias que funcionan como súper proteínas

Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una súper proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de algún derrame.

Durante la investigación, se presentaron muchas dificultades, se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con tales sustancias, éstas no mejoraron los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente científico.

Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.

Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones para encontrar los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.

1.      Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera, obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.

2.      Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, obteniendo 12 litros.

Nota: Para encontrar lo que se te pide, supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.

Ordenando los datos del problema

Sea:

S₁ la cantidad total de la sustancia del proyecto 1.

S₂ la cantidad total de la sustancia del proyecto 2.

S₃ la cantidad total de la sustancia del proyecto 3.

M_P la cantidad en litros de cada proyecto

La cantidad total al vaciar todas las sustancias estará dada por la siguiente ecuación

M (litros) = S₁ + S₂ + S₃ ------------------------ (ECUACIÓN A)

Los datos del problema se pueden organizar en una tabla (matriz) de la siguiente manera

Pruebai/sustancias	S1 (vasos)	S2(vasos)	S3(vasos)	MP (lts.)
P1	2	2	1	4.5
P2	4	6	3	12.0
P3	6	9	7	X
Total de sustancia	12	17	11	16.5+X

De la tabla anterior podemos representar cada uno de los proyectos mediante ecuaciones lineales de primer grado toda vez que cumplen la características de este tipo de ecuación ya que los coeficientes están elevados a X¹

Ya que los datos de los distintos proyectos están relacionados entre si, podemos decir que tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con 4 incógnitas, expresando por el siguiente sistema:

P₁ = (2)S₁+ (2)S₂+(1)S₃ = 4.5 lts--------------Ecuación 1

P₂ = (4)S₁+(6)S₂+(3)S₃ = 12 lts--------------Ecuación 2

P₃ = (6)S₁+(9)S₂+(7)S₃ = X lts--------------Ecuación 3

El contenido del recipiente donde se vaciaron todos los experimentos estará dado por la siguiente expresión:

P_{T =} (12)S_1T+(17)S_2T +(11)S_3T = 16.5+ X lts--------------Ecuación 4

Aunque el sistema de ecuaciones antes descrito se puede expresar mediante un arreglo de matricial de la forma:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ … a_2n x_n = b₂

…        …..          ……      …

A_m1x₁+ a_m2x₂+ … a_mn x_n = b_m

Donde:

Donde x₁, x₂, ... x_n son las incógnitas y los números aij Î K

En el caso de el sistema de ecuaciones 1,2,3 pudría representarse como matriz de coeficientes por ser  un sistema de ecuaciones lineales, pero para solucionar el problema requerimos de una matriz ampliada que represente a la matriz de los coeficientes de lado izquierdo de la igualdad de las ecuaciones 1,2 y 3 y otra que representa a la matriz de constantes de las mismas ecuaciones pero en este caso no se cumple ya que en la ecuación 3 tenemos una incógnita, representada por X lts.

Luego entonces la solución de nuestro sistema seria:...... lo demas lo puedes hace tu sin problemas

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Un poco de historia del álgebra lineal

agosto 3rd, 2010 Escrito por Jesus Soto

La Teoría de Matrices y el Algebra Lineal no aparece como consecuencia del estudio de los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales. La organización de estos coeficientes llevó al desarrollo de los determinantes y no de las matrices (Leibniz utilizó determinantes en 1693 y Cramer desarrolló su método de resolución de sistemas mediante determinante en 1750). El primer uso implícito de las matrices aparece en la obra de Lagrange en su estudio de los extremos de funciones de varias variables a finales del siglo XVIII.
El hecho que llevó al desarrollo de las matrices fue el concepto de multiplicación, dado por Cayley en 1855, para representar la composición de aplicaciones (transformacion ) lineal . Fue Sylvester, en 1848, el que acuñó el término "matriz" pues consideraba una matriz como un generador de determinantes: cada subconjunto de k filas y k columnas de una matriz generaba
un determinante kxk. Con el resultado ”det(AB) = det(A)det(B)” se estableció una conexión entre las teorías de las matrices y los determinantes.
El siglo XX focalizó sus intereses en el estudio de espacios vectoriales abstractos, relegando las matrices al papel de una notación en la interpretación del comportamiento de las aplicaciones lineales. Hubo que esperar al final de la II Guerra Mundial, con el advenimiento de los computadores, para que se volviera a enfatizar el estudio de las matrices como entes con interés propio. Alan Turing introduciría en 1948 el concepto de LU-factorización y una década después aparecería el concepto de QR-descomposición (Wilkinson) y la constatación de la estabilidad del método de eliminación gaussiana, que sigue siendo el mejor método conocido para la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales.
(Extraído del texto indicado)

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Matrices: definición, operaciones y propiedades básicas.

    En este tema estudiaremos las matrices como objeto matemático y su aplicación al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos sus propiedades fundamentales, las operaciones básicas, y una aplicación importante de estos conceptos: el Teorema de Rouché-Frobenius.


3. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

Antes de proceder a resolver un sistema de ecuaciones lineales, tenemos que dar respuesta a las siguientes preguntas: ¿El sistema tiene solución, es decir, es compatible? En caso afirmativo: ¿Tiene una solución o infinitas? Para responderlas, una de las herramientas que podemos utilizar es la que proporciona el Teorema de Rouché-Fröbenius, cuyo enunciado es el siguiente:

Consideremos un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

Sean  A  la matriz del sistema  y  A*  la matriz ampliada del sistema (con los términos independientes).

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas ( A )  sea igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes  ( A* ). Es decir:  rango (A) = rango (A*).

Si el valor común de los rangos coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si, por el contrario, el valor de los rangos es menor que el número de incógnitas el sistema es compatible indeterminado.

En resumen:

• Si rango (A) = rango (A*) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado (tiene una única solución).
• Si rango (A) = rango (A*) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).
• Si rango (A) # rango (A*), el sistema es incompatible (no tiene solución).

Un caso particular es el de los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en los que todos los términos independientes son nulos. Pues, en este caso, las matrices  A  y  A*  son  semejantes a efectos del cálculo del rango, dado que la matriz  A*  es la matriz  A  a la que se le añade una columna de ceros, que podemos suprimir para calcular el rango. Por lo tanto, siempre se cumple que rango (A) = rango (A*). Esto quiere decir que todos los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Se cumple:

• Si rango (A) = n (número de incógnitas), el sistema es compatible determinado. Tiene una única solución, que se conoce con el nombre de solución trivial. Es aquella en la que todas las incógnitas son  nulas  ( 0 ).
• Si rango (A) < n (número de incógnitas), el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

Una vez realizada la "discusión o identificación del sistema", aplicaremos alguno de los métodos que desarrollaremos en los epígrafes posteriores. No obstante, es preciso tener en cuenta las siguientes observaciones:

• Si el sistema es compatible determinado, el valor común de los rangos indica el número de ecuaciones principales, es decir, aquellas que no dependen de las restantes.
• Si el sistema es compatible indeterminado, (rango (A) = rango (A*) = k < n) el valor común de los rangos  ( k )  indica tanto el número de ecuaciones independientes o principales, como el número de incógnitas principales. Las restantes incógnitas  (no principales)  n - k  las pasaremos al segundo miembro formando un único término junto al término independiente. Siguiendo este procedimiento obtendremos un sistema de  k  ecuaciones lineales con  k incógnitas (principales), al que aplicaremos uno de los procedimientos que estudiaremos en los siguientes apartados: Regla de Cramer, Método de Gauss o, por la matriz inversa.
  
  
  http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/sistemas_de_ecuaciones_lineales_2bcnt/discusion_por_el_teorema_de_rouche.htm

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antecedentes histórico

                                     La Matematica tiene la virtud de elevar el alma, obligándola a razonar acerca de los numeros."

                                                                                                        Platon 

Los primeros rudimentos de lo que hoy conocemos como  Algebra lineal se han encontrado en el documento matematico mas antiguo que ha llegado hasta nuestros dÍas: el papiro Rhind, conservado en el British Museum con algunos fragmentos en el Brooklyn Museum, y conocido tambien como el Libro de Calculo, el cual fue escrito por el sacerdote egipcio Ahmes hacia el a~no 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855 ([11], Vol. I, pag. 40). En este valioso documento se consideran las ecuaciones de primer grado, donde la incognita aparece representada por un \ibis" que signi¯ca escarbando en el suelo, posiblemente por su primogenita aplicacion a la agrimensura. Este documento contiene 85 problemas redactados en escritura hieratica y fue concebido originalmente como un manual practico para los no iniciados. Segun el propio Ahmes, este texto es una copia de uno mas antiguo (2000-1800 a.C.), algunosde cuyos documentos proceden quiza de per³odos mas antiguos.

Los babilonios sabían como resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y segundo grado, usando completacion de cuadrados o sustitucion, as³ como tambien ecuaciones cubicas y bicuadraticas, y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales tales como:

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Introducción

Desde tiempos remotos, y como parte esencial de su propio desarrollo evolutivo, el hombre ha procurado entender los diferentes aspectos que forman parte de su vida cotidiana. Para ello ha procurado disponer de herramientas que le permitan no sólo poder cazar y recolectar con mayor eficiencia, sino también poder medir longitudes, ordenar y contar objetos, o reconocer fenómenos períodicos de la naturaleza. Como parte de este proceso de elaboración, el hombre ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a encontrar una solución al problema especifico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su comunidad. Muchos de estos problemas tienen un caracter lineal, es decir, pueden plantearse mediante algunas ecuaciones lineales con coe¯cientes en algún campo de números y con unas pocas variables o incógnitas. Recordemos que la palabra ecuación proviene del latín aequatio que signifca igualdad. Así, una ecuación es una igualdad que
contiene algunas cantidades desconocidas. En particular, una ecuación lineal es una ecuación de la forma

a1x1 + a2x2 + .... + anxn = b       (1)

donde a1; a2; : : : ; an son los coeficientes, x1; x2; : : : ; xn las variables o incognitas y b el término constante. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto infito de ecuaciones lineales.
Problemas tan amplios como la distribución de cosechas o el presupuesto de un país, el cálculo de la órbita de un asteroide (o de un planeta) y el cálculo de la estabilidad estructural de un edificio en ingeniería civil, entre muchos otros, pueden plantearse en términos de sistemas de ecuaciones lineales para obtener su solución.

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Algebra Lineal

" La sabiduría resplandece y no se enturbia su fulgor, gustosa se deja

contemplar por sus amantes y se deja hallar por los que la buscan. Ella

se adelanta dándose a conocer a los que la desean. Que si la buscas desde

temprano no tendrás que afanarte, la encontrarás sentada en su puerta.

Meditar en ella es la inteligencia perfecta, y el que se queda velando por

ella, estará pronto al amparo de preocupaciones. Ella misma busca por

todas partes los que son dignos de ella; se les aparece benévola en el

camino y, cualquier cosa que mediten, les viene al encuentro. El principio

de la sabiduría es el deseo sincero de ser instruido por ella; querer su

inspiración es amarla; amarla es guardar sus leyes; guardar sus leyes es

asegurarse la inmortalidad; y la inmortalidad da cabida cerca de Dios,

de modo que el deseo de la sabiduría conduce al Reino"

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