Un grupo de ingenieros en biotecnología realizaron una investigación para crear una sustancia que funcionara como una súper proteína en un tipo especial de microorganismos que habita cerca de una zona petrolera. El objetivo es hacer dichos microorganismos más resistentes y, en el caso de que existiera algún derrame petrolero cerca de la zona, utilizarlos para la limpieza de algún derrame.
Durante la investigación, se presentaron muchas dificultades, se tenían previstos tres proyectos diferentes, los cuales resultaron en un rotundo fracaso. En cada uno de los proyectos se desarrolló una sustancia diferente, al realizar las pruebas con tales sustancias, éstas no mejoraron los microorganismos como se esperaba, de esta manera, los frascos que contenían las sustancias respectivas de cada proyecto fueron vaciados a un mismo contenedor con capacidad de m litros, el cual se encontraba completamente limpio. Los ingenieros tomaron una muestra de la sustancia que resultó de la combinación de las tres que se vaciaron al contenedor y observaron los resultados, luego de ponerla en el microscopio. Esta muestra era producto de un accidente científico.
Después de esto, cada grupo hizo una marca al recipiente que contenía su respectiva sustancia, esto, con el objeto de tener en cuenta la medida que utilizaron y relacionarlo con el resultado que se obtuvo. De esta manera, volvieron a utilizar la misma medida que vaciaron al contenedor para formar una nueva sustancia, la probaron y el resultado fue exactamente el mismo que el que había en el contenedor.
Después de esto, todos se dieron cuenta de que nadie sabía exactamente cuánto fue lo que depositó de su respectiva sustancia, pero tenían el recipiente en el que señalaron la medida. Para saber las cantidades exactas, sugirieron formar un sistema de tres ecuaciones para encontrar los valores exactos de los recipientes de cada uno de los grupos, de esta manera, realizaron las siguientes pruebas.
1. Utilizaron 2 vasos de la primera sustancia, 2 vasos de la segunda y un vaso más de la tercera, obteniendo 4.5 litros de la sustancia final.
2. Utilizaron 4 vasos de la primera sustancia, 6 vasos de la segunda y 3 vasos más de la tercera, obteniendo 12 litros.
Nota: Para encontrar lo que se te pide, supón que en las primeras dos pruebas (la del accidente y la repetición del mismo) se colocaron 6 vasos de la primer sustancia, 9 vasos de la segunda y 7 vasos de la tercera.
| Ordenando los datos del problema |
Sea:
S1 la cantidad total de la sustancia del proyecto 1.
S2 la cantidad total de la sustancia del proyecto 2.
S3 la cantidad total de la sustancia del proyecto 3.
MP la cantidad en litros de cada proyecto
La cantidad total al vaciar todas las sustancias estará dada por la siguiente ecuación
M (litros) = S1 + S2 + S3 ------------------------ (ECUACIÓN A)
Los datos del problema se pueden organizar en una tabla (matriz) de la siguiente manera
| Pruebai/sustancias | S1 (vasos) | S2(vasos) | S3(vasos) | MP (lts.) |
| P1 | 2 | 2 | 1 | 4.5 |
| P2 | 4 | 6 | 3 | 12.0 |
| P3 | 6 | 9 | 7 | X |
| Total de sustancia | 12 | 17 | 11 | 16.5+X |
De la tabla anterior podemos representar cada uno de los proyectos mediante ecuaciones lineales de primer grado toda vez que cumplen la características de este tipo de ecuación ya que los coeficientes están elevados a X1
Ya que los datos de los distintos proyectos están relacionados entre si, podemos decir que tenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con 4 incógnitas, expresando por el siguiente sistema:
P1 = (2)S1+ (2)S2+(1)S3 = 4.5 lts--------------Ecuación 1
P2 = (4)S1+(6)S2+(3)S3 = 12 lts--------------Ecuación 2
P3 = (6)S1+(9)S2+(7)S3 = X lts--------------Ecuación 3
El contenido del recipiente donde se vaciaron todos los experimentos estará dado por la siguiente expresión:
PT = (12)S1T+(17)S2T +(11)S3T = 16.5+ X lts--------------Ecuación 4
Aunque el sistema de ecuaciones antes descrito se puede expresar mediante un arreglo de matricial de la forma:
a11x1+ a12x2+ … a1n xn = b1
a21x1+ a22x2+ … a2n xn = b2
… ….. …… …
Am1x1+ am2x2+ … amn xn = bm
Donde:
Donde x1, x2, ... xn son las incógnitas y los números aij Î K
En el caso de el sistema de ecuaciones 1,2,3 pudría representarse como matriz de coeficientes por ser un sistema de ecuaciones lineales, pero para solucionar el problema requerimos de una matriz ampliada que represente a la matriz de los coeficientes de lado izquierdo de la igualdad de las ecuaciones 1,2 y 3 y otra que representa a la matriz de constantes de las mismas ecuaciones pero en este caso no se cumple ya que en la ecuación 3 tenemos una incógnita, representada por X lts.
Luego entonces la solución de nuestro sistema seria:...... lo demas lo puedes hace tu sin problemas
