Introducción
Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas,
las derivadas e integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo
de todo eso. En principio, parecen cosas bastante diferentes pero todas ellas
tienen una base común, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar.
Me estoy refiriendo a los números reales que representamos por IR. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes que se
pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos.
También puedes extraer raíces de números reales positivos y elevar un número
real positivo a otro número real. Lo que quizás no sepas es que todo lo que
puedes hacer con los números reales es consecuencia de unas pocas propiedades
que dichos números tienen que, además, son muy elementales.
Estableceremos dichas propiedades. Serán nuestro punto de partida para todo lo que
sigue; constituyen los “axiomas” del Cálculo. Te advierto que no voy a
decírtelo todo, voy a guardarme una carta en la manga que te mostraré más
adelante cuando su necesidad.
Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios.
Al terminar este apartado, entenderás el significado de la frase de Bertrand Russell que fue
uno de los más grandes matemáticos y filósofos del siglo XX.
"La matemática pura es aquella ciencia en la que uno no sabe de qué está hablando
ni si lo que está diciendo es verdad"
Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apropiado.
Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un problema de álgebra y otro de probabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo sitúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosas son tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para que sientas lo que quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone que x;y son números reales.
1. Prueba que 0 x = 0.
2. Prueba que .-(x)y = -xy.
3. Prueba que si x<> 0 entonces x^2>0.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que
has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tu
reacción ¿que demuestre que 0 x=0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.
Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exactamente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones lo más frecuente es “quedarse colgado” con la “mente en blanco” sin saber qué hacer.
Para evitar ese peligro, un marco de referencia muy claro que va a consistir en unas propiedades de los números – axiomas, si quieres llamarlas así – que vamos a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lógica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados (teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.
Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomas y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x=0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario, lema, proposición y otros. Pero la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica.
Los axiomas de una teoría matemática proporcionan el marco de referencia más general de dicha teoría. Son, por tanto, muy importantes. Al principio, cuando la teoría empieza a caminar y se demuestran los primeros resultados más básicos, es frecuente recurrir de forma explícita a los axiomas. Más adelante, cuando la teoría va avanzando, los axiomas no suelen citarse con tanta frecuencia porque nos apoyamos en resultados más elaborados previamente demostrados.
Pero los axiomas siempre están presentes aunque sea de forma discreta y no ostensible. Entre las particularidades que distinguen a las Matemáticas de las demás ciencias hay una muy especial: las Matemáticas avanzan dando definiciones. Las definiciones no son nuevos axiomas. Una definición lo que hace es introducir un término nuevo y establece cómo dicho término se expresa en función de los axiomas de la teoría. Por ejemplo, la definición de continuidad se expresa mediante desigualdades y las desigualdades se reducen a los axiomas de orden de IR.