viernes, 23 de marzo de 2012

martes, 20 de marzo de 2012

Axiomas de IR Principio de inducción (parte 2)

     

Quiero también decirte algo sobre lo que se entiende por reglas de inferencia lógicas usuales.
Me limitaré a la más importante: la implicación lógica. 
Los teoremas matemáticos tienen casi siempre la siguiente estructura: se parte de una hipótesis y de ella se deduce una tesis. Entremos en detalles. 
La hipótesis es siempre alguna propiedad matemática; por ejemplo, “f es una función continua en un intervalo”. La tesis también es una propiedad matemática; por ejemplo, “la imagen de f es un intervalo”. Representemos por H la hipótesis y por T la tesis.
Es importante que te des cuenta de que no tiene sentido preguntarse por la veracidad de la hipótesis H. No es ni verdadera ni falsa. Para que H sea verdadera o falsa debemos  particularizar la función f.

Axiomas de IR Principio de inducción (parte 1)

     
Introducción

Los temas tradicionales del Cálculo son el estudio de las funciones continuas, las derivadas e integrales, las sucesiones y las series. Tú ya debes saber algo de todo eso. En principio, parecen cosas bastante diferentes pero todas ellas tienen una base común, que es, precisamente, de lo que nos vamos a ocupar.

Me estoy refiriendo a los números reales que representamos por IR. Sin duda, ya conoces muchas propiedades de los números reales. Sabes que se pueden sumar y multiplicar y que hay números reales positivos y negativos. También puedes extraer raíces de números reales positivos y elevar un número real positivo a otro número real. Lo que quizás no sepas es que todo lo que puedes hacer con los números reales es consecuencia de unas pocas propiedades que dichos números tienen que, además, son muy elementales. 
Estableceremos dichas propiedades. Serán nuestro punto de partida para todo lo que sigue; constituyen los “axiomas” del Cálculo. Te advierto que no voy a decírtelo todo, voy a guardarme una carta en la manga que te mostraré más adelante cuando su necesidad.

lunes, 5 de marzo de 2012

Lenguaje Ensamblador para PC

     
Paul A. Carter
9 de agosto de 2007
Copyright c 2001, 2002, 2003, 2004 by Paul Carter


Traducido al español por Leonardo Rodríguez Mújica. Sus comentaros y sugerencias acerca de la traducción por favor a: lrodri@udistrital.edu.co
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Actividad 5. Criterio de la segunda derivada

     

Criterio de la segunda derivada

Otra de las aplicaciones de la segunda derivada es para clasificar los puntos críticos donde la primera derivada se anula. La idea es muy gráfica: si c es un punto donde f (c)=0 y f es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c entonces f (c) es un máximo relativo, pero en cambio si es cóncava hacia arriba entonces se alcanza un mínimo relativo en c.

Teorema:
Sea f una función tal que f´(c)= 0 y cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c
  1. Si f”(c) > 0 entonces f(c) es un mínimo relativo.
  2. Si f”(c) <  0, entonces f(c) es un máximo relativo.


domingo, 4 de marzo de 2012

Problemas que se resuelven a través de la optimización

     

Antecedente
Las condiciones que presenta el aguacate como monocultivo en la región productora michoacana deriva en problemas que limitan la producción y comercialización, tales como: Mal manejo de podas, riegos deficientes, aspersiones inadecuadas en las plantaciones, daños de plagas y enfermedades en pre y poscosecha, poca organización entre los productores para la comercialización, introducción al mercado de fruta chica, así como cortada antes de su madurez fisiológica.
Las enfermedades del aguacate afectan la producción en 40 por ciento y ocupan un renglón importante por el número, intensidad y como factor que incrementa costos de producción, ya que se requieren de seis a siete aplicaciones de pesticidas para su control acompañado por prácticas culturales y de manejo.
Esta situación los ha llevado a un grupo de Productores de Aguacate de Uruapan Michoacán inician un proyecto de cultivos orgánicos de aguacates con el fin de obtener mejor producto, aumentar su producción y resolver los problemas cultivo y cosecha con un sistema 100% amigable con el medio ambiente, por lo que se presenta un problema relacionado con la cantidad de matas a plantar y la producción esperada, por lo que se plantea el siguiente:
Problemas:

Como primer prueba de este cultivo estiman plantar 200 matas, la producción que estiman es de 300 Kg. por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción aumentará en 3 Kg. por árbol.
Recurren al centro de ciencias ambientales para que les proporcionen un modelo matemático que les permita estimar el máximo rendimiento con el mínimo de árboles plantados.
SOLUCIÓN

Variables que intervienen en el problema

Sea:
x =  Número de árboles que no se plantan
 (Apl) = Número de árboles a plantar, definido por la expresión
Apl  = 200 – x                          expresión 1
Pe = la producción estimada
Pe = 300 + 3 x …………………………..expresión 2

Modelo Matemático
De acuerdo a la expresión 1 y 2, la producción total en función de los árboles a plantar y la producción estaría dado por
P(x) = (Apl) * (Pe)………… Expresión 3
Sustituyendo la expresión 1 y 2 en la expresión 3

Modelo Matemático
P(x) =  6000 +300x-3X2……..Expresión 3

Solución al problema
Dado que la función esta definida para todos los números reales,  en particular para el caso de la cantidad de árboles que se espera plantar se encuentran en el intervalo [0,200]
1.- Calculando los números críticos de P(x)mediante el criterio de la primera derivada

P’(x) = d/dx ((200 – x) ▫ (300 + 3x))

P’(x) = (200 – x)  (d/dx (300 + 3x) )  + (300 + 3x)  (d/dx(200 – x)))
P’(x) = (200 – x)  (d/dx (300) + 3 d/dx (x) )  + (300 + 3x)  (d/dx(200) – d/dx (x)))
P’(x) = 3 (200 – x)  - 3x- 300
P’(x) = 300  -  6x

2.- encontramos los puntos criticos de P’(x)

P’(x) = 0 cuando  300 – 6x = 0 entonces el punto crítico es x = 50

Dado que la función es continua y esta definida en IR, por lo tanto esta definida en el intervalo [0,200] encontraremos los valores máximos

P(0) = 6000 +300(0)-3(0)2 = 6000
P(50) = 6000 +300(50)-3(50)2= 67500
P(200) = 6000 +300(200)-3(200)2= 0

El máximo rendimiento sería de 67,500 kg de aguacates orgánicos y se alcanzaría cuando se dejan de plantar 50 árboles esto es de la expresión 1
Apl  = 200 – 50 = 150 árboles
Una vez que determinaron el número de matas a plantar para obtener la máxima producción surge un nuevo problema que consiste en:




PROBLEMA 2

La decisión final de los productores depende del análisis costo beneficio de este tipo de producción por lo que para determinar es necesario obtener el costo total de producir q de un kg de aguacates, ,  por lo que se les planteó el siguiente modelo matemático

ca(q) = 9000 + 4q + 1/20 q2--------------------------- expresión A

Con lo que requieren conoce:
  • ¿Cuantos kilogramos deben producir un árbol para obtener el mínimo costo promedio por kilogramo?
  • ¿Cual es el mínimo costo promedio por kilogramo producido?
SOLUCIÓN

1. Obtenemos el costo promedio, diviendo la expresión A
ca(q)=
9000+4q+1/20 q2
=
9000

+4+ 1/20 (q)
q
q

Calculamos la primera derivada de ca

ca’(q)=
d/dx(
9000
+4+ 1/20 (q))
q

ca’(q) = - 9000 q -2 +1/20

encontramos el punto critico del promedio ca’(q) = 0
esto sucede cuando
-9000 q-2 +1/20 = 0
Despejando q-2

1/q2 = 1/(20*9000)
Öq2= Ö9000*20
q= Ö9000*20
por lo tanto
q= 424.26 es el único valor critico ya que la raíz negativa no representa nada en nuestra solución.

Usando el criterio de la segunda derivada
Para
ca’(q) = - 9000 q -2 +1/20
Tenemos que
ca “ (q) =d/dx(- 9000 q -2 +1/20)
ca “ (q) =(18000 /q3)
al evaluar tenemos que

ca “ (424.26) =(18000 /424.263) > 0

Entonces
En q = 424.26 se alcanza un mínimo relativo y como existe un único valor extremo relativo, podemos concluir

Cuando un árbol produce 424.26 kilogramos de producto tendrá el costo promedio mínimo de:
ca(424.26) =
9000 + 4(424.26) + (424.26) 2/20
424.26

ca(424.26) =
9000 + 4(424.26) + (424.26) 2/20
424.26

ca(424.26) =
9000 + (1697.04) + (8999.82738)
424.26

Por lo que el costo mínimo promedio es de $ 46.42

Conclusión:

Los productores deberán plantar 150 árboles que producirán 6.75 toneladas de aguacates orgánicos,

Y el costo mínimo de producción es de $46.42, cuando se produce en promedio 424.25 kg por árbo